Санджай Сури родился 6 апреля 1971 года в Шринагаре, в обеспеченной семье кашмирских пандитов. Его юность была резко прервана трагическими событиями: в возрасте 19 лет он покинул Кашмир после того, как его отец погиб в результате террористического нападения. Семья была вынуждена переехать в Дели, и этот опыт утраты и вынужденного переселения впоследствии сильно повлиял на мировоззрение и творческий выбор актёра.

В кино Сури начал с роли второго плана в фильме Pyaar Mein Kabhi Kabhi (1999), где снимался вместе с Дино Мореа и Ринке Кханна. В начале 2000-х он быстро сформировал репутацию актёра «другого» кино, появляясь в проектах, ориентированных не на формульный успех, а на драматическую глубину и социальные темы. Среди таких работ — Daman: A Victim of Marital Violence (2001), Filhaal… и музыкальная драма Dil Vil Pyar Vyar (2002).

Заметным этапом в его карьере стала роль в фильме Pinjar (2003), где он снимался вместе с Урмилой Матондкар. Однако наиболее смелой и обсуждаемой работой Санджая Сури стала картина My Brother… Nikhil (2005), в которой он сыграл ВИЧ-положительного гомосексуального мужчину. В то время подобная тема была практически табу в индийском кино, и фильм получил широкое признание за честность и гуманизм.

Помимо актёрской работы, Сури активно проявил себя как продюсер. Он стал одним из сопродюсеров фильма I Am (2011), созданного при помощи краудфандинга. Картина не только вышла в прокат, но и получила Национальную кинопремию Индии за лучший художественный фильм на хинди, а также ряд международных наград, связанных с продвижением прав человека. В 2012 году Санджай Сури вошёл в состав индийской делегации на Каннском кинофестивале.

В личной жизни Санджай Сури женат на Амбике Сури, у пары двое детей. Он известен тем, что предпочитает сохранять дистанцию от гламурной стороны Болливуда, сосредотачиваясь на содержательных и авторских проектах.