Мишра дважды получал премию Filmfare Critics Award for Best Actor — за Ankhon Dekhi и Vadh, что выделяет его как одного из немногих актёров своего поколения, сумевших добиться признания и в масскультуре, и среди критиков.
Он родился 6 октября 1963 года в Дарбханге, Бихар, в семье с государственными служащими в нескольких поколениях. Его отец работал в Индийском бюро печати, а дедушка и бабушка были чиновниками. После переезда семьи в Варанаси Санжай учился в Kendriya Vidyalaya BHU, а позднее поступил в Национальную школу драмы, которую окончил в 1989 году. Образование в NSD стало ключевым фундаментом его актёрского мастерства.
Первые годы в профессии Мишра провёл в рекламе и небольших ролях. Его съёмки в Chanakya в 1991 году стали для него непростым стартом, но именно этот период дал ему опыт, без которого он не смог бы двигаться дальше. Его кино-дебют состоялся в 1995 году в Oh Darling! Yeh Hai India!, где он сыграл эпизодическую роль гармониста. Следующие проекты — Satya, Dil Se.. — привели его к телевизионной известности.
Телевидение стало для Мишры первой крупной площадкой успеха. Его роль Шуклы, коррумпированного и забавного служащего в популярном ситкоме Office Office, сделала его узнаваемым на всю страну. До середины 2000-х он активно работал в сериалах, после чего сосредоточился почти полностью на кино, где получил новые возможности благодаря ролям в Bunty Aur Babli и Apna Sapna Money Money.
С середины 2000-х Мишра стал одним из ведущих комедийных актёров Болливуда. Golmaal: Fun Unlimited, Dhamaal, а затем его феноменальная роль RGV в All the Best: Fun Begins сделали его частью золотого пула комедийных звёзд своего времени. Однако настоящим драматическим прорывом стала его главная роль в Ankhon Dekhi (2014) — фильме, который закрепил его статус как серьёзного актёра и принёс ему Filmfare Critics Award. Позднее он снова получил эту награду за Vadh (2022).
Параллельно Мишра продолжает активно сниматься в коммерческих хитах — Bhoothnath Returns, Kick, Dum Laga Ke Haisha, Prem Ratan Dhan Payo, Dilwale. Его узнаваемость усилили и рекламные кампании — например, роль Apple Singh во время Кубка мира по крикету 1999 и вирусная серия Mauka Mauka в 2015 году.
