Арджун мечтал стать полицейским, но вдохновившись Брюсом Ли и фильмом Enter the Dragon, в юности увлёкся боевыми искусствами и получил чёрный пояс по карате. В кино он дебютировал в начале 1980-х, а настоящий прорыв произошёл с выходом Gentleman (1993) режиссёра Шанкара. Роль борца с коррупцией принесла ему премию штата Тамил-Наду за лучшую мужскую роль. Затем последовали хиты Jai Hind (1994), Karnaa (1995) и Kurudhipunal (1995) — последний стал официальным индийским кандидатом на премию «Оскар».
Фильм Mudhalvan (1999) утвердил за ним статус крупной звезды, а романтическая драма Rhythm показала его с новой, мягкой стороны. Арджун одинаково успешно снимался в экшене и драмах, совмещая актёрскую карьеру с режиссурой и продюсированием. Его работа в каннадском фильме Sri Manjunatha (2001) принесла ему Государственную премию Карнатаки, а картина Abhimanyu (2014) получила награду как второй лучший фильм года.
Арджун женат на Ниведите (бывшая актриса Аша Рани). У пары две дочери — Айшварья и Анджана. Айшварья дебютировала в 2013 году и также снимается в кино. В июне 2024 года она вышла замуж за актёра Умапати Рамайю. Среди родственников Арджуна — целая актёрская династия: брат Кишор Сарджа, племянники Чирандживи и Дхрува Сарджа.
Актёр известен своей глубокой религиозностью — он строит храм Ханумана на окраине Ченнаи с монолитной 35-футовой статуей божества. В 2024 году ему была присуждена почётная докторская степень Университета имени М. Г. Р.
