Амара Каушик родился в городе Канпур, штат Уттар-Прадеш, в семье гаур-брахманов. Детство провёл в посёлке Ме́до (Аруначал-Прадеш), где его отец служил лесничим в Индийской лесной службе, а мать Шаши преподавала в школе. В возрасте десяти лет семья переехала обратно в Канпур. Позже он изучал массовые коммуникации в Дели и в 2006 году переехал в Мумбаи, чтобы начать карьеру в кино.

Каушик начал работать в кино в 2008 году как ассистент режиссёра Раджкумара Гупты на фильме Aamir, а затем стал его соратником на проектах No One Killed Jessica и Ghanchakkar. Он также участвовал в съёмках фильмов Онира (Sorry Bhai!, I Am, Shab) как второй режиссёр и эпизодический актёр.

Первым самостоятельным проектом Каушика стала короткометражка Aaba (2017), сценарий которой был написан по истории его матери. Фильм, снятый в Зиро (Аруначал-Прадеш), получил Специальный приз жюри на Берлинском международном кинофестивале и был показан на фестивале в Торонто.

Настоящий прорыв принесла полнометражная хоррор-комедия Stree (2018) с Раджкумаром Рао и Шраддхой Капур. Фильм стал сенсацией проката, собрав более ₹125 крор и положив начало франшизе Maddock Horror Comedy Universe. Следом Каушик снял сатирическую комедию Bala (2019) с Аюшманом Кхураной — кассовый и критический хит, высмеивающий культ внешности и социальные стереотипы.

В 2022 году режиссёр расширил вселенную хоррор-комедий, поставив фильм Bhediya, а в 2024-м выпустил долгожданное продолжение — Stree 2, собравшее более ₹870 крор по миру и укрепившее его репутацию как одного из самых кассовых режиссёров Индии.