До начала актёрской карьеры Челтрим служил в Королевской армии Бутана и дослужился до звания капитана Королевской гвардии. В 2013 году он добровольно покинул службу, чтобы полностью сосредоточиться на бодибилдинге. Выступления на соревнованиях принесли ему широкое признание, а в 2017 году он завоевал титул Mr Bhutan, что стало важной точкой перехода в киноиндустрию.

Его актёрский дебют состоялся в бутанском фильме Singye — картине, ставшей коммерческим хитом на родине. Успех фильма привёл его в Болливуд: Сангэй появился вместе с Салманом Кханом в экшн-фильме Radhe, где его экранная харизма и физическая мощь были замечены индустрией. В том же году он сыграл главную роль в документальном фильме Хайдера Кхана Rohingya – People from Nowhere.

В 2023 году актёр вернулся к бутанскому кино в ленте Lingpoen («Майор»), которая стала огромным хитом в стране. Ещё одной вехой стал фильм Jawan, где он появился на экране вместе с Шах Рукх Кханом, сыграв полицейского — роль, укрепившую его присутствие в индийской массовой культуре.

Сегодня Сангэй Челтрим — один из немногих артистов Бутана, сумевших прорваться в крупные индийские проекты, при этом оставаясь важной фигурой и для национального кинематографа.