Он родился и вырос в Старом Дели. В 1983 году присоединился к театральной группе Chingari, а спустя два года поступил в Институт кино и телевидения Индии (FTII) в Пуне. После учёбы Капур начал карьеру в арт-хаусных фильмах, дебютировав в картине Кумара Шахани Khayal Gatha (1989). Из-за нехватки ролей в 1990-е он переключился на сценарии и режиссуру, выпустив в 1997 году свой первый полнометражный фильм Private Detective: Two Plus Two Plus One, где в небольших ролях снялись Насируддин Шах и Ирфан Кхан.

Настоящий прорыв произошёл в 2001 году с Dil Chahta Hai, где он сыграл дядю героини Прити Зинты, а затем получил международное признание после участия в Monsoon Wedding Миры Наир, где его персонаж — человек с двойной моралью — вызвал бурную реакцию зрителей. В 2003 году он написал и поставил независимый фильм Raghu Romeo, собрав деньги на съёмки с помощью электронных писем друзьям. Лента принесла ему Национальную кинопремию за лучший хинди-фильм. После этого Капур снял и сыграл в Mixed Doubles, Mithya и Siddharth: The Prisoner, продемонстрировав свой редкий баланс между комедией, драмой и философской иронией.

Помимо кино, Раджат активно работает в театре и на телевидении. Он вёл авторское ток-шоу Lounge на NDTV Good Times и продолжает участвовать в театральных постановках. Его проект RkRkay (2021) стал одной из первых успешных индийских кинокартин, профинансированных через краудфандинг — на платформе goCrowdera.com.

За свою карьеру Капур трижды удостаивался Национальной премии: за документальный фильм Tarana, короткометражку Hypnothesis и игровой фильм Raghu Romeo. Он также снялся в бенгальском фильме Iti Mrinalini (2010) вместе с Конконой Сен, демонстрируя широту актёрского диапазона.

В личной жизни Капур женат на фотографе и художнице-постановщике Минал Агарвал, у пары двое детей. Он открыт в своих убеждениях и называет себя атеистом.